2006年数学一考研真题解析，2006年数学一考研真题解析答案
大家好！本文和大家分享一道2006年江西高考数学真题。这道题是当年江西高考数学试卷的第一道解答题，考查的是利用导数求函数的极值和单调区间、以及恒成立求参数取值范围等问题。这道题虽然一道函数综合题，但是难度并不大，高中生必须要掌握。
先看第一小问：求a、b的值和单调区间。
做这道题之前，我们先回忆一下利用导数求函数的极值和单调性的相关知识。
在高中阶段，求函数的极值是根据导数值为零来求解的，即函数f(x)在x=x0处取得极值f(x0)，那么一定有f'(x0)=0。但是需要特别注意的是，如果f'(x0)=0，那么f(x0)是否一定是函数f(x)的极值呢？这个就不一定了。因为在函数取得极值处，不仅导数值为零，而且两边的单调性要相反。
具体来说，如果f'(x0)=0，且函数在x0的左侧为增函数、在x0的右侧为减函数，那么f(x)在x=x0处取得极大值；如果f'(x0)=0，且函数在x0的左侧为减函数、在x0的右侧为增函数，那么函数在x=x0处取得极小值。如果f'(x0)=0，但是函数在x0两侧的单调性相同，那么函数在x=x0处不能取得极值。
再来回忆一下利用导数求函数单调性。当f'(x)＞0时，函数为增函数；当f'(x)＜0时，函数为减函数。另外，如果函数为增函数，那么f'(x)≥0；如果函数为减函数，那么f'(x)≤0。这里面需要特别注意的是导数究竟能不能等于零的问题。
回到题目。根据求导法则，f'(x)=3x^2+2ax+b。由于函数在x=-2/3和x=1处取得极值，所以f'(-2/3)=0且f'(1)=0，代入后解得a=-1/2，b=-2。
接下来，我们列出f'(x)和f(x)随x变化的表格，通过表格就可以轻松看出函数的单调区间了。不过，需要特别注意的是，如果单调区间是由几个区间构成，那么这几个区间之间是不能用“∪”符号连接的，这是不少学生容易忽略的一点。
再看第二小问：求c的取值范围。这一问实际上考查的是恒成立求参数的取值范围。不等式f(x)＜c^2在[-1,2]上恒成立，也就是说f(x)在[-1,2]上的最大值都要小于c^2，所以接下来就只需要找到这个最小值即可。
由(1)知，f(x)在[-1,2]上的最大值在f(-2/3)和f(2)中取得，所以接下来需要比较f(-2/3)和f(2)的大小。根据函数解析式可以求得：f(-2/3)=22/27+c，f(2)=2+c，所以f(2)＞f(-2/3)，故原不等式就转化为f(2)＜c^2，即2+c＜c^2。解出c的范围即可。
这道题属于基础题，难度不大，但是仍不失为一道经典题目，高中生应该掌握。
2006年数学一考研真题解析(2006年数学一考研真题解析答案)
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