考研数学真题，考研数学真题2023数学一
大家好！本文和大家分享一道2000年上海高考数学真题。这道题考查了函数的单调性、对勾函数、恒成立以及求参数的取值范围等知识，整体来说难度并不大，高中生看过题目后都说简单。下面我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：求函数的最小值。
函数的最值问题一般需要结合函数的单调性来解决。由题意，当a=1/2时，f(x)=x+1/(2x)+2，此时f(x)的图像可以看成是将对勾函数y=x+1/(2x)的图像向上平移2个单位得到。所以f(x)在[1,+∞)为增函数，则当x=1时，f(x)取得最小值，且最小值为f(1)=1+1/2+2=7/2。
再看第二小问：求参数的取值范围。
由于x在[1,+∞)上，所以f(x)＞0恒成立就等价于x^2+2x+a＞0恒成立，所以就要有二次函数y=x^2+2x+a在[1,+∞)的最小值都大于零。由于二次函数y=x^2+2x+a的对称轴为x=-1，所以该二次函数在[1,+∞)为增函数，所以当x=1时，二次函数取得最小值，且最小值为3+a，所以有3+a＞0，解得a＞-3。
再来看一下第二小问的另外一个解法。
f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2，当a=0时，f(x)=x+2，显然此时f(x)在[1,+∞)更为正；当a＞0时，f(x)=x+a/x+2就可以看成是对勾函数y=x+a/x向上平移2个单位得到，此时f(x)在[1,+∞)也是恒为正；当a＜0时，由函数单调性的性质知f(x)在[1,+∞)上为增函数，所以当x=1时，f(x)取得最小值为f(1)=3+a，要使f(x)＞0恒成立，就需要f(x)的最小值大于零，即3+a＞0，即此时-3＜a＜0。
综上，a＞-3。
当然，这道题是求参数取值范围，那么我们就不能忘了“参变分离”这个重要的方法。即由f(x)＞0且x≥1可以得到：a＞-x^2-2x在[1,+∞)上恒成立，也就是说a大于函数y=-x^2-2x在[1,+∞)上的最大值。根据二次函数的性质可知，当x=1时，y=-x^2-2x取得最大值-3，所以a＞-3。
参变分离是求参数取值范围的一个重要方法，同学们在学习过程中一定要学会使用。这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
考研数学参考(考研数学参考2023数学一)
未经允许不得转载：郑州考研网 » 考研数学参考(考研数学参考2023数学一)
