考研真题数学，考研真题数学二
2022年高考数学考试结束后，不少考生特别是新高考一卷地区的考生将羡慕的目光投向了北京。因为在大家看来，2022年北京高考数学试卷是真的简单，很多题就是送分题。确实，从整体上来看，2022年北京高考数学的难度较小，比如本文和大家分享的这道导数真题，学霸看完直言真简单。
先看第一小问：求曲线的切线方程。
这一问考查的是导数的几何意义、导数的计算以及直线方程。
首先根据函数f(x)的解析式求出f(0)的值，即f(0)=0，那么曲线切点的坐标为(0,0)。再对f(x)的解析式求导，得到导函数的表达式，从而求出f'(0)=1。由导数的几何意义就得到曲线切线的斜率k=1，然后再由直线的点斜式方程就可以得到切线方程为y=x。
再看第二小问：讨论函数的单调性。
讨论函数的单调性，常用的方法有定义法、图像法、性质法、复合函数单调性以及导数法，其中导数法是一个相对比较万能的方法，除了部分抽象函数，其他函数基本都可以用导数法来判断单调性。在高考中，解答题中的函数单调性也通常是用导数法求解。
用导数法判断函数g(x)的单调性，先求出g(x)的解析式，然后求导得到g'(x)，再通过g'(x)的正负来判断单调性。
在本题中，要直接判断g'(x)的正负很难，所以需要求二阶导。继续分析可以发现，e^x是不会影响g'(x)的正负的，所以只需要将g'(x)中除去e^x剩下的部分的正负判断出来即可。于是设剩下部分为h(x)，那么求导得到h'(x)，整理后得到h'(x)=(x^2+1)/(1+x)^3。由于x≥0，所以h'(x)＞0，那么h(x)在[0,+∞)是增函数，所以h(x)≥h(0)=1＞0，从而得到g'(x)＞0在[0,+∞)上恒成立，所以g(x)为增函数。
最后看第三小问：证明。
在函数解答题中证明不等式，一般需要构造新的函数。
由(1)可知，f(0)=0，所以可以将需证明的结论进行变换，即要证f(s+t)＞f(s)+f(t)，即只需证f(s+t)-f(s)＞f(0+f)-f(0)①，这样就可以构造一个新的函数ψ(x)=f(x+t)-f(x)，则①就等价于ψ(s)＞ψ(0)，所以接下来就需要判断新函数ψ(x)的单调性。
由于ψ'(x)=g(x+t)-g(x)，其中t＞0，即x+t＞x，所以由(2)知ψ'(x)＞0，即ψ(x)为增函数。又s＞0，故ψ(s)＞ψ(0)，从而结论得证。
这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题难度怎么样？
考研参考数学(考研参考数学二)
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