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刚多林的经济增长模型
我们先来试着简化一下模型。
刚多林，其实可以看作一个君主制的城邦，其政治制度是典型的贵族政治。不过仔细看来，刚多林是没有一个所谓的中央政府的，甚至可以说她根本没有政府，而是把职权分给12大家族的领主。只有到关键决策之时，比如夏日之门当天勾斯魔格率众突袭而至时，图尔巩才会召集其他11位领主参加紧急会议，而后各领主其实也是各自领军的。
虽然图尔巩有至高无上的权力（如对埃欧尔的命运仲裁），各领主在各自家族中也有足够的权威（也许除了萨尔甘特）与财政自由度，但我们不妨姑且把领主们看作各大家族中的一个普通家庭单位（household），而非经济上的领导者。如此一来，我们就可以忽略现代社会经济中“政府”的部分，也不用担心“税收”这种看起来不大“精灵”的东西。
那么，在这样一个封闭的简单经济体里，生产是怎样进行的呢？
举个例子：如果有一个精灵家庭由一对夫妻组成，职业技能为医药，他们就可以独自开一家小药店或诊所（firm），把夫妻俩作为劳动力投入（labor input），结合门店、草药之类的资本投入（capital input），转化（生产）出医疗服务。
当然，他们也可以去给其家族的领主提供医疗服务，这样领主家作为一个公司（firm），可以将雇佣的医师（labor input）和医疗设施等（capital input）同样转化为医护服务。
如此，我们可以定义一个简单的生产方程（production technology）：
Y=F(K,L)=A*K^α*L^β
这个方程的形式叫Cobb-Douglas，无论在消费者理论和生产者理论中都运用很广。其中，Y在我们这里就是刚多林的 GDP了，K和L分别代表capital input和labor input，A（好大的一个伏笔）是生产力（即魔法），指数α和β则是这个公式的精髓，不过目前一一解释略显繁琐。
在经济学中，我们会假设α+β=1，意为：如果一个精灵可以把一块生铁打造出一套盔甲，两个精灵就可以拿两块生铁打造出两套盔甲（constant returns to scale）。在我们生活的世界里，一般会假设α=1/3，β=2/3，即1/3的收入会流向资本（capital），2/3的收入会流向劳动力（labor）。简化过后，这个生产方程就简单多了：
Y=F(K,L)=A*K^1/3*L^2/3
下面，我们将使用研究某经济体资本量(capital accumulation)的索罗模型（Solow Growth Model），看看刚多林经济状态的几个经济参数是什么样的（这个模型的好处后文会提到）。
GDP对每个人来说可以有两种用处，不是消费（C）就是投资（I），即
Yt=Ct+It,
Ct=(1-s)*Yt,
It=s*Yt,
其中s即储蓄率（savings rate）。
在这个模型里，I代表对资本的投资，所以对于某一时间段资本的变化量ΔKt=It-d*Kt=s*Yt-d*Kt，d代表折旧率（depreciation rate）。总体而言，这个公式就是在说，一段时间内投资的资本量减去所有折旧的资本就是资本的增量（如果ΔKt>0）。用图表示的话如下：
如图，在K*这个水平之前投资大于折旧，超过这个水平折旧大于投资，所以在这个模型里，K*是个关键点。通过一些简单的计算可解K*=(s*A/d)^3/2*L。其中A、s、d、L都是外生参数，定义了一个经济的稳定态（steady state），即无论这个经济体的资本量是高于还是低于K*，在长期情况下都会往K*移动。
这个模型对刚多林来说实在太适用了，因为在我看来，刚多林非常符合模型描述的“长期中的稳定态”。我们完全有理由相信，刚多林建成后的500年里，经历了一段城市建设带来的经济增长后，刚多林的建筑、设施、军备都达到了一个相对稳定的状态（投资=折旧）。
同时，这个模型也给我们提供了进一步研究刚多林GDP的可能。刚多林的极度富裕想必不用过多介绍，在字里行间她显得如净土般美好富足，而又实力雄厚。翻阅刚多林十二家族备战魔苟斯大军之际的文字，我们看到托老花了超过一页的篇幅巨细靡遗地描述了每个家族战士奢华精良的装备。从城内的街道、高塔、喷泉、王宫，城外的七门，到精灵们的富足和快乐，都可以看出刚多林处在一个极高的K*水平。
从数学上来说，为了K*要大，s和A要大，d要小（之所以忽略L是因为计算人均L就不存在了）。若说刚多林都符合这三个条件，也不失合理，因为：
- 刚多林的魔法（A）虽然不及维林诺的图娜，但也丝毫不会逊于纳国斯隆德或明霓国斯，她甚至还有乌欧牟守护的加成；
- 我们平时的房子住的十年二十年可能就不太行了，精灵嘛，估计他们都不知道啥是折旧，d肯定是极小的；
- s需要一点点的说明，不过在刚多林中，精灵对于资本的投资确实很大——在《失落的传说》中，图奥刚走进主城后，托尔金特意说刚多林的居民都在忙着开采金属以铸造武器、甲胄、头盔和盾牌（经济里这算是对非居住类投资下的装备一项），并提到图奥很快就学会了各类石匠技能。
有了以上的信息，我们再看刚多林的GDP组成就方便多了。估量GDP通常有三种方法：一是生产，二是支出，三是收入。
从支出的公式Y=C（消费）+I（投资）+G（政府购买）+NX（净出口）来看，后两项在我们的刚多林模型里都是0，因为刚多林可以看作是一个无中央政府的封闭经济体（可能精灵也会和大鹰做一些进出口吧哈哈哈）。在人类社会中C大多数时候还是远高于I的（中国和卡塔尔略有意外），而在刚多林这种情况很有可能是反过来的。
从收入的公式看，Y=W（工资）+NT（净税收）+NO（净利润）+D（折旧）。同样，在我们在模型里NT和D都是0，这样的话，我们也许可以推断刚多林的精灵无论是打工还是自己当老板都可以过得不错。
从生产来看的分项则可见下图（图内数据来源于2017和2018年的美国）：
这些数据对于刚多林的适用度，尽管不太好说，不过根据现有的证据，第3-7、12、17、24这几大项（包括农林渔业、矿业、公用工程、建筑业、制造业、交通和仓库以及艺术和娱乐）刚多林是肯定有的，其具体的占比就请各位读者自行推断了——这显然没有一个标准答案。
最后，因为人类对于A（生产力）是有各种建模的，笔者也曾想过把精灵的A（魔法）用类似的方式说明一下，不过似乎没有特别大的必要。
无论您觉得刚多林的A在这500年里是在增长（提出一个固定的增长率公式）或是减小（有固定的负增长率或半衰），结合之前含有A的公式，也都应该对刚多林经济增长有了一些全新的看法。
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