考研高等数学，考研高等数学考什么
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作者奇君
夏天出去吃饭的时候苍蝇经常不请自来。射苍蝇是一项技术活，因为苍蝇的飞行轨迹十分奇特，人类仅靠双手很难找到目标。
那么问题来了，苍蝇为什么要飞来飞去？
你可能不知道苍蝇是这样飞的，其实应用了一个强大的数学原理，这个原理让它们的飞行轨迹难以捉摸，从而避免被击中。
而这个数学原理叫做列维飞行。莱维的飞行路线图是这样的——
图片来源：维基百科
莱维的飞行是分形的，也就是说不管放大多少倍，看起来还是和原来的图案差不多。更重要的是，莱维的飞行是随机游走，这意味着它的轨迹无法准确预测，就像苍蝇的步伐一样幽灵。
显然，莱维飞行有助于苍蝇避开捕食者和想要撞平头的人类。2008年，东京大学生物学家MasakazuShimada团队发现，家蝇（Muscadomestica）的飞行轨迹属于莱维飞行。
不仅是家蝇，还是家里常见的果蝇。例如，Drosophilamelanogaster在飞行时经常直线飞行，并夹杂着快速的90度转弯。它们的飞行轨迹是正确的莱维飞行图——
Drosophilamelanogaster的莱维飞行。图片来源：(doi)10.1371/journal.pone.0000354
我们在中学的时候学过一些微小的粒子有布朗运动。
布朗运动图片来源：维基百科
虽然布朗运动也是随机游走，但是莱维飞行不同于布朗运动。
布朗运动有个特点，就是每一步的步长都集中在一个区域，画面呈钟形曲线——
莱维的飞行不是这样。你应该在中学就学过幂函数。在莱维的飞行图中，每一步的距离服从幂律。也就是动作中的大部分步子都很短，但有个别步子很长。
莱维飞行的步长是一个幂函数
你可能要问了，哦，莱维飞行和布朗运动是有区别的，但是这个有什么用呢？
莱维飞行和布朗运动的步骤性质不同，直接导致莱维飞行比布朗运动更有效率。在步数或距离相同的情况下，莱维的飞行位移远大于布朗运动，可以探索更大的空间。
布朗运动（左）与莱维飞行（右）效率对比。显然，莱维的飞行覆盖范围更大，步数更少，对于探索未知事物很有用。图片来源：(DOI)10.1038/nature04292
这对于需要在未知领域狂野的生物来说至关重要。果然，发现莱维飞行的法国数学家、BenoitB.Mandelbrot的导师PaulPierreLévy最先发现生命的许多随机运动属于莱维飞行，而不是分子的布朗运动。
例如鲨鱼等海洋捕食者，当它们知道附近有食物时，就会使用布朗运动，因为布朗运动有助于“圆盘”——打开并清空一小块隐藏的食物。但是当食物稀缺并且需要探索新的领土时，海洋掠食者会放弃布朗运动，转而采用莱维的飞行策略。
2008年，英国和美国的研究团队在Nature上发表了一项研究，他们给了55种不同的海洋捕食者（包括丝鲨、旗鱼、蓝枪鱼、黄鳍金枪鱼、海海龟和企鹅）携带追踪器在5,700多天的时间里跟踪和观察它们的行踪。
在分析了1200万次动作后，研究人员发现，大多数海洋食肉动物在食物匮乏时更喜欢莱维式的动作。更有意思的是，磷虾等猎物的分布也与莱维飞行的特点相吻合。
不仅如此，土壤中的变形虫、浮游生物、白蚁、大黄蜂、大型陆地食草动物、鸟类、灵长类动物和原住民在觅食时的路线也有类似的规律。莱维的外逃似乎是生物在资源稀缺环境下生存的共同法则。
莱维黑眉信天翁的飞行模式。图片来源：(DOI)10.1073/pnas.1121201109
其实，对于流浪动物来说，找到下一顿饭不仅要靠运气，还要靠高等数学。在几乎不知道猎物分布的情况下，莱维的飞行效率远远优于布朗运动。这或许就是他们碰碰运气时会切换到莱维飞行模式的原因。
因此，后来生物学家提出了莱维飞行觅食假说（Lévyflightforaginghypothesis），用来概括动物认命时的撒娇动作。
不仅是野生动物，很多自然现象都有莱维飞行的特点。
比如水龙头滴水的时候，两滴水的时间差就是莱维的飞行；健康心脏两次跳动之间的差距，甚至股市的走势都是莱维的逃亡。
水龙头滴水的时候，两次滴水的时间差属于莱维的飞行。
例如下图是西班牙某股票价格与西班牙股票指数的关系——
注意到莱维的飞行在以不确定性着称的股票市场上的应用空间后，金融专家们开始与PutinFlying一起对金融市场进行研究。
莱维飞行甚至被用来研究流行病的爆发。
1997年，程序员HankEskin想知道钱去了哪里，于是建立了一个名为wheresgeorge.com的网站。
将纸币上的编号和当地邮政编码输入上述网站，即可追踪纸币的动向。一些爱好者甚至制作了该网站的邮票，印在钞票上（红色），鼓励大家使用该网站。
用户只需在网站上输入当地邮政编码、纸币编号等信息，即可追溯手中美元的生命历程。
Eskin做这个网站只是为了好玩，但后来德国柏林洪堡大学的物理学家DirkBrockmann和他的同事在研究传染病时注意到了这个网站。他们认为，传染病的传播途径与纸币的传播途径相似，因此利用该网站的数据进行分析。
在对46万张纸币的轨迹进行分析后，他们证实了自己的猜测：传染病的传播与纸币的传播方式相同，符合莱维出逃的特点。他们于2006年在Nature上发表了这项研究。
布罗克曼的发现与当时的主流流行病学理论相悖（主流流行病学理论认为所有人被感染的概率相同），但莱维的飞行比传统理论（如SARS）更能预测疾病，所以很多流行病模型现在正在应用莱维的航班。
最后，不要以为人的行为能逃过莱维的逃跑。人类出行、购物的轨迹，也属于莱维的飞行轨迹。没想到商场里的剁手党跟飞的苍蝇一样。
明白了，捡硬币需要布朗运动，扔硬币需要做莱维飞行。
未标注图源网络。
参考文献保存在Shimo：
https://shimo.im/docs/q9KwTgXGWg9CDRrH/
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